Тема: Розв'язування рівнянь і систем рівнянь у MathCAD
Мета. Оволодіти основними методами розв’язку рівнянь, систем рівнянь, набути навичок в обчисленні інтегралів, похідних, спрощенні математичних виразів.
Матеріали та обладнання: ПК, операційна система Windows, програма MathCAD.
Література
[14] ст. 73-152, [15] ст.76-95, [16] ст.123-169
Теоретичні відомості
Функція root здійснює розв’язок алгебраїчних та трансцендентних рівнянь, визначаючи дійсні корені рівняння. Вона має вигляд:
root(f(x),x), де f(x) – рівняння, що розв’язується,
тобто f(x)=0; x – аргумент функції f(x).
Функція root видає той корінь, який є найближчим до обраного початкового наближення, тому перед використанням вбудованої функції root необхідно задати початкове значення змінної. Якщо рівняння має кілька коренів, тоді треба побудувати графік функції у = f (x) і вибрати відповідне початкове наближення або відрізок, де знаходиться корінь рівняння.
Пошук кореня рівняння здійснюється ітераційним методом із заданою точністю (точність за замовчуванням 10-3; системна змінна TOL відповідає за точність).
|
Методи розв’язку систем рівнянь |
|
|
за допомогою функції lsolve розв’язують системи алгебраїчних рівнянь матричним методом |
за допомогою блоку GIVEN-FIND розв’язують лінійні та нелінійні алгебраїчні рівняння |
|
lsolve (M,V), де – M - матриця коефіцієнтів системи лінійних рівнянь; V – вектор правих частин системи рівнянь. |
x:=x0 y:=y0 z:=z0 …. - початкові значення Given рівняння системи Find(x, y, z,....) = При запису системи рівнянь використовують БУЛЕВУ РІВНІСТЬ = з палітри Булеве |
Для спрощення арифметичних виразів, обчислення похідних, невизначених інтегралів, суми скінченних та нескінченних рядів, границ, розв‘язання алгебраїчних рівнянь та систем рівнянь з параметрами, тощо застосовують команди для виконання аналітичних обчислень:
або
Завдання 1. Знайти дійсні корені рівняння 6x3-5x2-18x=15 при різних початкових значеннях змінної x.
q Послідовність виконання.
1. Завантажити програму MathCAD.
2. Задати функцію f(x)
f(x):=
3. Побудувати графік функції f(x)
Зробити висновок : рівняннь має ________________ корінь(коренів)
4. Задати початкові значення та знайти корені рівняння, що є найближчими до початкового значення:
х:=
root(f(x),x)=
х:=
root(f(x),x)=
х:=
root(f(x),x)=
5. Зберегти документ під назвою «Розв’язок рівнянь»
Завдання 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь: а) матричним методом за допомогою функції lsolve, б) за формулами Крамера, в) за допомогою блоку функцій Given – Find.
q Послідовність виконання.
1. Створити новий документ.
2. Задати матрицю М - коефіцієнтів системи лінійних рівнянь, матрицю V – вектор правих частин системи рівнянь:
QUOTE
3. Перевірити систему рівнянь на сумісність, для цього необхідно, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці системи, тобто rank(M) = rank (M|V). Сумісна система має єдиний розв’язок, якщо rank(М) = rank(М|V)= n, n - розмірність матриці M. Вбудована функція augment(M,V) об'єднує дві матриці, які мають однакову кількість рядків, в одну.
rank(M):= rank(augment(M,V)):=
@Зробити висновок: система рівнянь є сумісною або несумісною (підкреслити)
та має _____ розв’язки або немає розв’язків (підкреслити)
4. Знайти розв’язок системи рівнянь за допомогою функції lsolve
lsolve(М,V)=
5. Самостійно виконати розв’язування за формулами Крамера та блоку функцій Given – Find.
6. Зберегти документ під назвою «Розв’язок системи рівнянь»
Завдання 3. На балку АВ вагою G=2 кН діє розподілене навантаження інтенсивністю q=2кН/м і зосереджена сила F=8 кН . Знайти реакції опор XA, YA, RB. Розміри вказані на рисунку 1.
Для розв’язку задачі необхідно розв’язати систему рівнянь рівноваги:
QUOTE
q Послідовність виконання.
1. Створити новий документ.
2. Задати значення змінних: G :=2·103 F:=8·103 q:= 2·103 α :=30·deg L :=3
3. Обчислити зосереджену силу Q :=q·L
Q =
4. Задати початкові значення: XA:= YA:= RB:=
5. Знайти розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою блоку Given-Find :
Given
Find(
,
,
)=
QUOTE
6. Зберегти документ під назвою «Розв’язок задачі».
: Завдання 4. Обчислення похідних функцій
q Послідовність виконання.
1. Створити новий документ.
2. Обчислити похідну функції y(x):=15x·cosx-ex
Задати функцію f(x):=
Обчислити похідну
3.
Обчислити похідну функцій 
в
точці х
=
2
Задати функцію f(x):=
Задати точку х:=
Обчислити похідну
4. Обчислити похідну другого порядку функції F(x)=ln arcsin3x
Задати функцію f(x):=
Обчислити похідну другого порядку
5. Матеріальна точка рухається за законом S(t)=8t4-3t2+t-1. Обчислити значення швидкості і прискорення цієї точки в момент часу t=3
6. Зберегти документ під назвою «Обчислення похідних»
Завдання 5. Обчислення інтегралів
q Послідовність виконання.
1. Створити новий документ.
2.
Обчислити визначений інтеграл QUOTE
3.
Обчислити невизначений інтеграл QUOTE
4. Матеріальна точна рухається прямолінійно. Її швидкість задана рівнянням V(t) = 9t2 - 4t + 1. Обчислити пройдений шлях за 4 с від початку руху.
5. Зберегти документ під назвою «Обчислення інтегралів»
Завдання 6. Виконати спрощення математичних виразів за допомогою команд меню Символи
q Послідовність виконання.
1. Створити новий документ.
2.
Спростити вираз QUOTE
3. Розкласти на множники, використовуючи команду фактор з меню Символи
(17·х4+2·х5+22·х3+7·х2)
4. Зберегти документ під назвою «Спрощення виразів»
Контрольні питання
1. Яке призначення та формат функції root?
2. Які існують способи розв’язку системи лінійних рівнянь в програмі Mathcad?
3. Яке призначення та формат функції lsolve?
4. Які основні правила запису блоку Given–Find?
5. Як виконати спрощення математичного виразу?
6. За допомогою якої команди математичний вираз можно розкласти на множники?
7. За допомогою якої палітри інструментів виконують обчислення похідних, інтегралів?