Тема 1.13: Елементи динаміки системи.
План
1. Система матеріальних точок. Внутрішні і зовнішні сили. Момент інерції твердого тіла.
2. Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла.
3. Кінетична енергія твердого тіла при поступальному, обертальному і плоскопаралельному рухах.
1. Система матеріальних точок. Внутрішні і зовнішні сили. Момент інерції твердого тіла.
Сукупність матеріальних точок, які взаємодіють між собою, називають механічною системою матеріальних точок. Будь-яке тверде тіло можна вважати незмінною механічною системою матеріальних точок. Сили взаємодії точок даної системи називають внутрішніми; сили, з якими діють на дану систему інші точки, що не належать до цієї системи , — зовнішніми.
Всі формули динаміки точки застосовні до тіла, яке рухається поступально.
Рівняння поступального руху твердого тіла нічим не відрізняється від основного рівняння динаміки точки.
де m – маса тіла, яка є мірою інертності тіла при поступальному русі.
При обертальному русі твердого тіла мірою його інертності є момент
інерції тіла відносно осі обертання. Момент
інерції тіла відносно осі
– це сума добутків мас матеріальних точок, які утворюють це тіло, на квадрат
відстаней їх до цієї осі. 
Одиниця вимірювання моменту інерції кг·м2.
Суттєва відмінність осьового моменту інерції тіла від його маси полягає в тому, що маса тіла є для нього величиною постійною, тоді як момент інерції тіла залежить не тільки від самої обертової маси, але й від розподілу цієї маси відносно осі обертання.
Моменти інерції деяких однорідних тіл:
1) момент інерції тонкого однорідного стержня довжиною l і масою m:
2) момент інерції круглого однорідного циліндра радіусом R і масою m:
Теорема Гюйгенса: Момент інерції тіла відносно даної осі дорівнює моментові інерції тіла відносно осі, що їй паралельна і проходить через центр мас тіла, плюс добуток маси всього тіла на квадрат відстані між осями.
2. Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла.
Для тіла яке обертається навколо нерухомої осі основне рівняння динаміки має вигляд:
Обертальний момент дорівнює добуткові моменту інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення.
Величина Моб може залежати від φ і t. Якщо Моб=0, то ω=const, тобто тіло обертається рівномірно. Якщо Моб= const, то ε=const, тобто тіло обертається рівнозмінно.
3. Кінетична енергія твердого тіла при поступальному, обертальному і плоскопаралельному рухах.
Кінетична енергія твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок, які утворюють це тіло:
.
Обчислимо кінетичну енергію твердого тіла для трьох випадків руху.
1) Тіло рухається поступально.
Так як в поступальному русі усі точки тіла рухаються з однаковими швидкостями його швидкість обчислюється за тією самою формулою, що й кінетична енергія матеріальної точки.
Кінетична енергія тіла при поступальному русі дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості руху центра мас.
2) Тіло обертається навколо нерухомої осі.
Кінетична енергія твердого тіла,
яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює половині добутку моменту
інерції тіла відносно осі обертання на квадрат його кутової швидкості.
3) Тіло рухається плоскопаралельно.
Кінетична енергія твердого тіла, яке рухається плоскопаралельно, дорівнює сумі кінетичних енергій у поступальному русі разом з центром ваги і обертальному русі навколо центральної осі, перпендикулярної до основної площини.
Теорема про зміну кінетичної енергії системи тіл: зміна кінетичної енергії системи тіл при деякому переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діяли на систему під час переміщення.
Кінетична енергія системи тіл дорівнює сумі кінетичних енергій кожного тіла окремо. Якщо тіло тверде, то сума робіт його внутрішніх сил дорівнює нулю.
Запитання для самоконтролю:
1. Що називається системою матеріальних точок ?
2. Які сили називаються зовнішніми, а які внутрішніми ?
3. Що називається моментом інерції тіла ?
5. Сформулюйте теорему Гюйгенса про момент інерції відносно паралельних осей.
6. Який вигляд має основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла ?
7. Чому дорівнює кінетична енергія при поступальному русі тіла ?
8. Чому дорівнює кінетична енергія при обертальному русі тіла ?
9. Чому дорівнює кінетична енергія при плоскопаралельному русі тіла ?
10. Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії системи тіл?